数学笔记

二阶齐次常微分方程

2026-06-09 · 特征方程法与二阶常微分方程解法整理。

二阶齐次常微分方程

通常形如 $ay’‘+by’+cy=0$ 且 $a,b,c$ 均为常数的微分方程为二阶常微分方程。

特征方程法

根据前面可以看出，本质上二阶齐次常微分方程只需要解出它的一个待定系数，就能公式化地解开方程。

考虑方程 $y’‘+ay’+by=0$ 形如的解 $e^{kx}$，则有 \(e^{kx}(k^2+ak+b)=0\) 解出 $k_{1},k_{2}$ 后，那么 \(y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x}\) 此处由微分方程线性叠加原理得出，上式为其全部解，可参考 [[一阶线性微分方程解法]]。

解法来源

考虑最简单的形式 $f’=f$，很明显有解 $f=e^{x}$，但是我们不确定是否只有一个解。

思考：尝试解出所有解

根据特解猜测 $f$ 的结构，可以尝试设 $f=e^{x}+g$ 或者 $f=ge^{x}$，然后代入方程里。

第一个得到 $e^{x}+g’(x)=e^{x}+g(x)$，发现化归原样了，尝试第二个：

\[(g+g')e^{x}=ge^{x}\iff g'e^{x}=0\]

所以 $g’=0$，$g=C$。

所以它的全部解为 $e^x+C$。

如果复杂一点：$f’=af$

根据前面的思路，设 $f=e^{x}+g$ 或者 $f=ge^{x}$，然后得到 $e^{x}+g’=a(e^x+g)$ 或者 $(g+g’)e^{x}=age^{x}$，难以入手，并且最后化归为形式一样的方程。

但是注意到 $f=e^{ax}$ 为一个特解。

思维链

一样尝试设 $f=e^{ax}+g$ 或者 $f=ge^{ax}$，然后代入方程里。

第一个得到 $ae^{ax}+g’=a(e^{ax}+g)$，而第二个得到 $(ag+g’)e^{ax}=age^{ax}$。

第一个化归为形式一样的方程，而第二个得到 $g’e^{ax}=0$。

所以 $g’=0$，$g=C$。

它的全部解为 $f=Ce^{ax}$。

再复杂一点：$f’=af+b$

直接设 $f=ge^{ax}$，得到 \((ag+g')e^{ax}=age^{ax}+b\iff g'e^{ax}=b\) 于是 $g’=be^{-ax}\iff g=b\int e^{-ax}$，得到 \(g=-\frac{b}{a}e^{-ax}+C\) \(f=Ce^{ax}-\frac{b}{a}\) —

问题 1：$f’‘=f$

猜到特解 $f=e^{x}$。

设 $f=ge^{x}$，得到 \((g''+g'+g'+g)e^{x}=ge^{x}\iff g''+2g'=0\)

根据前面的结果得到 $g’=Ce^{-2x}\to g=C_{1}e^{-2x}+C_{2}$。

故 $f=C_{1}e^x+C_{2}e^{-x}$。

若是 \(f''=af\) 猜测特解 $f=e^x$ 或者 $f=e^{ax}$ 代入得到的不符合方程，待定系数 $k$： \((e^{kx})''=k^2e^{kx}=ae^{kx}\iff k=\sqrt{a}\) 根据前面的解法设 $f=ge^{\sqrt{a}x}$，然后得到 \(g''+2\sqrt{a}g'=0\implies g=C_{1}e^{-2\sqrt{a}x}+C_{2}\) \(f=C_{1}e^{\sqrt{a}x}+C_{2}e^{-\sqrt{a}x}\) —

更进一步：$f’‘=af+b$

只需要对两边同时积分即可算出 $f’$，没有更多特征。

最后考虑：$f’‘=af’+bf+d$

而常数 $d$ 可以被积分消去，从而转化为 $d=0$ 的同类方程。只需要解 \(f''=af'+bf\) 设 $f=ge^{kx}$ 并代入 \((g''+2kg'+k^{2}g)e^{kx}=a(g'+kg)e^{kx}+ge^{kx}\) \(g''+(2k-a)g'+(k^{2}-ak-1)g=0\) 此时让 $g’$ 或 $g$ 的系数为 $0$ 就化归为之前的方程了，即可解出 $f$。

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